Σを使った数列の和の計算問題ですね。Σの右の式に注目しましょう。 「kの1次式ならば等差数列」「(k-1)乗の式ならば等比数列」 になりますね。

Σの右の式を確認しましょう。 kの1次式ならば等差数列 になります！ 2k+1はkの1次式であり、等差数列 であることがわかりますね。さらに、Σの上下を確認すると、この等差数列の和は第1項から第n項までですね。k=1,K=2,……,k=nと代入していくと、与式は次のようになります。

初項3,公差が2,項数nの等差数列の和 が現れました。
よって求める値は、
n/2×{3+(2n+1)}=n(n+2)
となります。