典型的な「 道路の面積 」の問題だね。
池の周りを囲むように作られた道路の面積を求めるためには、「 全体の面積から池の面積をくりぬく 」という考え方をしよう。

道路の面積Ｓは、 全体の面積から池の面積をひく ことで求められるよ。
つまりＳ＝（全体の面積）－（池の面積）だね。
これを文字の式で表していこう。

まず、池の面積は簡単だね。１辺がｐmの正方形だから
（池の面積）＝ｐ²

次に、全体の面積について、図を見ながら考えよう。

１辺ｐmの池の周りを、幅ａmの道路が囲んでいるわけだね。
全体の１辺は、ｐ＋ａ＋ａ＝ｐ＋２ａ
だから、 （全体の面積）＝（ｐ＋２ａ）² だね。

必要なものを文字で表すことができたから計算していこう。
Ｓ＝（全体の面積）－（池の面積）
＝（ｐ＋２ａ）²－ｐ²
＝ｐ²＋４ａｐ＋４ａ²－ｐ²
＝ ４ａｐ＋４ａ²

最終的に何を証明したいかというと、 Ｓ＝ａℓ だったね。
だから、Ｓ＝４ａｐ＋４ａ²の右辺をａでくくって
Ｓ＝ａ（４ｐ＋４ａ）
つまり、 ４ｐ＋４ａ＝ℓを示すことができれば、証明が完了する わけだね。

では、ここでℓについて考えよう。
ℓは正方形の周の長さだけど、分かりやすいようにその１辺に注目しよう。
ℓはちょうど道の真ん中を通っているわけだから、図を見ながらこの１辺の長さを考えると、

（ℓの１辺）＝（池の１辺）＋ａ/２＋ａ/２＝ｐ＋ａ
ℓは周の長さだから、４倍して
ℓ＝４ｐ＋４ａ だね。

これを
Ｓ＝ａ（４ｐ＋４ａ）に代入すると
Ｓ＝ａℓ
これで証明ができたね。