高校数学Ⅲ

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5分で解ける!導関数f'(x)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
導関数f'(x)

微分法2 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=1/xという分数関数の導関数f'(x)を求める問題です。f(x)を微分したものが導関数f'(x)を表しますね。ここでは 「xの次数を係数として前に出し,xの次数を1つ減らす」という微分計算ではなく,定義に従って計算していきましょう。

導関数f'(x)の定義

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導関数の定義式は次のように表されます。

POINT
微分法2 ポイント 見出しと1~2行目まで
lecturer_avatar

変数が微小に変化するとき,それに対応する関数の変化の割合の極限を求めること微分といいました。導関数f'(x)は,f(x)の定義域における各点をすべて微分したときにできる関数だといえます。上式では,xの微小変化をhで表し,hが0に近づくときの極限を求めていますね。今回は,この定義に従って f(x)=1/xを微分していきましょう。

xがhだけ増加するときの変化の割合は?

微分法2 問題

lecturer_avatar

問題文には 「導関数の定義に従って」 とありますね。よって,関数f(x)が限りなく0に近いhだけ増加したときの変化の割合を求めていきましょう。

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変化の割合は, (yの増加量)/(xの増加量) で求められましたね。
xの増加量
変化前はx,変化後はx+hなので,(x+h)-x=hです。
yの増加量
変化前はf(x)=1/x,変化後はf(x+h)=1/(x+h)なので,{1/(x+h)}-(1/x)です。
これより,hが限りなく0に近づくときの変化の割合は,

微分法2 問題 解答1~2行目

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で表せますね。

「0÷0」の不定形を解消

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hに0を単純代入すると,「0÷0」の不定形になってしまいます。{1/(x+h)}-(1/x)の計算を進めて,分母のhを約分で消しましょう。

微分法2 問題 解答1~5行目

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分母のhが消えて,h=0を単純代入できるようになりましたね。答えは,次のようになります。

答え
微分法2 問題 解答1~6行目

定義に従った導関数計算もおさえよう

lecturer_avatar

導関数の定義はおさえられましたね。

POINT
微分法2 ポイント
lecturer_avatar

数学Ⅲでは,さまざまな関数を微分していくことになります。ただし,毎回定義にしたがって計算すると大変ですよね。今後の授業では,定義にしたがって計算した結果である微分公式を教えていきます。

導関数f'(x)
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