高校数学Ⅲ

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5分で解ける!複素数のn乗根(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
複素数のn乗根(2)

高校数Ⅲ 複素数平面21 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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z2=1+√3iの方程式を解く問題です。2回かけて,1+√3iになる複素数zの値を求めるのですね。複素数のn乗根の一般的な解法は,前回の授業で学習しましたね。両辺を極形式で表し,絶対値と偏角を比較するのがポイントでした。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面21 ポイント 1~2行目まで
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このときに注意点があります。両辺の偏角を比較するときは,偏角のとりうる範囲に気をつけましょう。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面21 ポイント 3行目以降

両辺を極形式で表す

高校数Ⅲ 複素数平面21 問題

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znについての方程式は,まず両辺を極形式で表すのが手順です。z=r(cosθ+isinθ),0≦θ<2πとおくと,z2=1+√3iの左辺は,
z2=r2(cos2θ+isin2θ)
となります。ド・モアブルの定理を使って整理していますね。

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一方,z2=1+√3iの右辺を極形式で表すと,|1+√3i|=√(12+√32)=2より,
1+√3i=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
です。

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したがって,
r2(cos2θ+isin2θ)=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
とできましたね。両辺を極形式にして比較するのがこの問題のポイントなのです。

極形式の絶対値の部分を比較

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r2(cos2θ+isin2θ)=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
において,両辺の絶対値と偏角が等しくなるように式をつくりましょう。

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まず絶対値の部分について。
r2=2
r=√2
とわかりました。

「2θ=π/3」の立式はNG

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次に偏角の部分について立式しましょう。
ここで単純に,
2θ=π/3
とするのは間違いになります。なぜだか,わかりますか?

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いま0≦θ<2πと設定しているので,0≦2θ<4πですよね。したがって,
2θ=π/3,7π/3
と2通りの値をとりうるのです。両辺を2で割って,
θ=π/6,7π/6
と求まりました。

z=r(cosθ+isinθ)に代入

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求めたr=√2およびθ=π/6,7π/6を,z=r(cosθ+isinθ)に代入すれば答えがわかりますね。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面21 問題 答えすべて
複素数のn乗根(2)
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          ド・モアブルの定理

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