高校数学Ⅲ
5分で解ける!1のn乗根の求め方に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
1のn乗根の求め方
解説
これでわかる!
問題の解説授業
POINT
![高校数Ⅲ 複素数平面19 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/1_3_19_1/k_mat_3_1_3_19_1_image02.png)
|z|=1より,z=cosθ+isinθとおける
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zn=1の方程式は,まず両辺の絶対値をとるのが手順です。|z6|=|1|=1より,
|z|6=1
⇔ |z|=1
とわかります。
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絶対値が1となる複素数zは,極形式でz=cosθ+isinθとおくことができますね。このとき,θの範囲は0≦θ<2πとなります。
z=cosθ+isinθをz6=1に代入
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次に,z=cosθ+isinθを方程式z6=1に代入しましょう。ド・モアブルの定理がうまく活用できますね。
(cosθ+isinθ)6=1
⇔cos6θ+isin6θ=1
両辺を比較すると,cos6θ=1,sin6θ=0であることがわかります。
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6θの範囲は0≦6θ<12πなので,
6θ=0,2π,4π,6π,8π,10π
両辺を6で割って,
θ=0,π/3,2π/3,π,4π/3,5π/3
とわかります。
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求めたいのはzの値になるので,z=cosθ+isinθにθ=0,π/3,2π/3,π,4π/3,5π/3を代入すると,次のように答えが求まりますね。
答え
![高校数Ⅲ 複素数平面19 問題 答えすべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/1_3_19_1/k_mat_3_1_3_19_1_image03.png)
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z6=1の方程式を解く問題です。この問題を通して,1のn乗根,つまりzn=1の解の求め方を解説します。複雑な計算は必要ありません。次のポイントにしたがって解いていきましょう。