高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!1のn乗根の求め方に関する問題

18
Movie size

5分で解ける!1のn乗根の求め方に関する問題

18

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
1のn乗根の求め方

高校数Ⅲ 複素数平面19 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
lecturer_avatar

z6=1の方程式を解く問題です。この問題を通して,1のn乗根,つまりzn=1の解の求め方を解説します。複雑な計算は必要ありません。次のポイントにしたがって解いていきましょう。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面19 ポイント

|z|=1より,z=cosθ+isinθとおける

高校数Ⅲ 複素数平面19 問題

lecturer_avatar

zn=1の方程式は,まず両辺の絶対値をとるのが手順です。|z6|=|1|=1より,
|z|6=1
|z|=1
とわかります。

lecturer_avatar

絶対値が1となる複素数zは,極形式でz=cosθ+isinθとおくことができますね。このとき,θの範囲は0≦θ<2πとなります。

z=cosθ+isinθをz6=1に代入

lecturer_avatar

次に,z=cosθ+isinθ方程式z6=1に代入しましょう。ド・モアブルの定理がうまく活用できますね。
(cosθ+isinθ)6=1
cos6θ+isin6θ=1
両辺を比較すると,cos6θ=1,sin6θ=0であることがわかります。

lecturer_avatar

6θの範囲は0≦6θ<12πなので,
6θ=0,2π,4π,6π,8π,10π
両辺を6で割って,
θ=0,π/3,2π/3,π,4π/3,5π/3
とわかります。

lecturer_avatar

求めたいのはzの値になるので,z=cosθ+isinθθ=0,π/3,2π/3,π,4π/3,5π/3を代入すると,次のように答えが求まりますね。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面19 問題 答えすべて
1のn乗根の求め方
18
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      複素数平面

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
          こちらをご覧ください。

          ド・モアブルの定理

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ