(1+i)⁶を展開しようとすると，計算が面倒ですよね。そこで，「この式がもし， (cosθ+isinθ)⁶ のように，極形式で表されていたら……」と考えてみてください。ド・モアブルの定理が活用できますね。

カッコの中の (1+i) に注目して，これをcosθ+isinθの極形式に置き換え，ド・モアブルの定理を使って計算していきましょう。

まずはz=1+iと置き，zを極形式で表しましょう。

極形式はz=|z|(cosθ+isinθ)の形になります。
|z|=√(1²+1²)=√2
ですね。したがって，
z=1+i=√2{(1/√2)+(1/√2)i}
と変形できます。cosθ=1/√2，sinθ=1/√2より，θ=π/4として，
z=1+i=√2{cos(π/4)+isin(π/4)}
と極形式で表すことができました。

z=1+i=√2{cos(π/4)+isin(π/4)} より，
(1+i)⁶=√2⁶ {cos(π/4)+isin(π/4)}⁶
ここで {cos(π/4)+isin(π/4)}⁶ に注目してください。ド・モアブルの定理が活用できる形ですね。6乗は偏角を6倍すればよいので，
(1+i)⁶=√2⁶ {cos(6π/4)+isin(6π/4)}
⇔(1+i)⁶=8 {cos(3π/2)+isin(3π/2)}
です。あとは，cos(3π/2)=0，sin(3π/2)=-1を代入すれば，答えとなりますね。