高校数学Ⅲ

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5分で解ける!極形式によるZ^nの計算(1)に関する問題

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5分で解ける!極形式によるZ^nの計算(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
極形式によるz^nの計算(1)

高校数Ⅲ 複素数平面17 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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(1+i)6を展開しようとすると,計算が面倒ですよね。そこで,「この式がもし, (cosθ+isinθ)6 のように,極形式で表されていたら……」と考えてみてください。ド・モアブルの定理が活用できますね。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面17 ポイント
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カッコの中の (1+i) に注目して,これをcosθ+isinθの極形式に置き換え,ド・モアブルの定理を使って計算していきましょう。

z=1+iを極形式で表す

高校数Ⅲ 複素数平面17 問題

lecturer_avatar

まずはz=1+iと置き,zを極形式で表しましょう。

lecturer_avatar

極形式はz=|z|(cosθ+isinθ)の形になります。
|z|=√(12+12)=√2
ですね。したがって,
z=1+i=√2{(1/√2)+(1/√2)i}
と変形できます。cosθ=1/√2,sinθ=1/√2より,θ=π/4として,
z=1+i=√2{cos(π/4)+isin(π/4)}
と極形式で表すことができました。

高校数Ⅲ 複素数平面17 問題 答え1~4行目

(1+i)6=z6を計算

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z=1+i=√2{cos(π/4)+isin(π/4)} より,
(1+i)6=√26 {cos(π/4)+isin(π/4)}6
ここで {cos(π/4)+isin(π/4)}6 に注目してください。ド・モアブルの定理が活用できる形ですね。6乗は偏角を6倍すればよいので,
(1+i)6=√26 {cos(6π/4)+isin(6π/4)}
⇔(1+i)6=8 {cos(3π/2)+isin(3π/2)}
です。あとは,cos(3π/2)=0,sin(3π/2)=-1を代入すれば,答えとなりますね。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面17 問題 答えすべて
極形式によるZ^nの計算(1)
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