z³=8iの方程式を解く問題です。3回かけて，8iになる複素数zの値を求めるのですね。この問題を通して，複素数のn乗根の一般的な解法を解説します。次のポイントにしたがって解いていきましょう。

zⁿについての方程式は，まず両辺を極形式で表すのが手順です。z=r(cosθ+isinθ)，0≦θ＜2πとおくと，z³=8iの左辺は，
z³=r³(cos3θ+isin3θ)
となります。ド・モアブルの定理を使って整理していますね。

一方，z³=8iの右辺を極形式で表すと， 8i=8(0+i) と見て，
8i=8{cos(π/2)+isin(π/2)}
です。

したがって，
r³(cos3θ+isin3θ)=8{cos(π/2)+isin(π/2)}
とできましたね。両辺を極形式にして比較するのがこの問題のポイントなのです。

r³(cos3θ+isin3θ)=8{cos(π/2)+isin(π/2)}
において，両辺の絶対値と偏角が等しくなるように式をつくりましょう。

まず絶対値の部分について。
r³=8
r=2
とわかりました。

次に偏角の部分について立式しましょう。
ここで単純に，
3θ=π/2
とするのは間違いになります。なぜだか，わかりますか？

いま0≦θ＜2πと設定しているので，0≦3θ＜6πですよね。したがって，
3θ=π/2,5π/2,9π/2
と3通りの値をとりうるのです。両辺を3で割って，
θ=π/6,5π/6,3π/2
と求まりました。

求めたr=2およびθ=π/6,5π/6,3π/2を，z=r(cosθ+isinθ)に代入すれば答えがわかりますね。