高校数学Ⅲ

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5分で解ける!極形式によるZ^nの計算(2)に関する問題

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5分で解ける!極形式によるZ^nの計算(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
極形式によるz^nの計算(2)

高校数Ⅲ 複素数平面18 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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{(1+√3i)/(1+i)}6を展開しようとすると,計算が面倒です。前回の授業と同じように考え,「この式がもし, (cosθ+isinθ)6 のように,極形式で表されていたら……」と考えてみてください。ド・モアブルの定理が活用できますね。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面18 ポイント
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まずは,カッコの中の (1+√3i)/(1+i) に注目して,これをcosθ+isinθの極形式に置き換えます。その後,ド・モアブルの定理を使って計算していきましょう。

(1+√3i)/(1+i)に極形式の商の公式を活用

高校数Ⅲ 複素数平面18 問題

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まずは (1+√3i)/(1+i) を極形式で表しましょう。

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このとき,極形式の商の公式を活用することを考えます。
z1/z2=|z1|/|z2|{cos(θ12)+isin(θ12)}
でしたね。(1+√3i)/(1+i)の分母と分子をそれぞれz1=1+√3i,z2=1+iとおき,z1,z2を極形式で表して計算していきましょう。

高校数Ⅲ 複素数平面18 問題 答え1~7行目

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z1,z2の極形式がわかりました。したがって,極形式の商の公式より,z1/z2の値は,

高校数Ⅲ 複素数平面18 問題 答え8~9行目

となりますね。

(z1/z2)6を計算

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z1/z2=√2{cos(π/12)+isin(π/12)} より,
{(1+√3i)/(1+i)}6=(z1/z2)6=√26 {cos(π/12)+isin(π/12)}6
ここで {cos(π/12)+isin(π/12)}6 に注目してください。ド・モアブルの定理が活用できる形ですね。6乗は偏角を6倍すればよいので,
{(1+√3i)/(1+i)}6=√26 {cos(6π/12)+isin(6π/12)}
⇔{(1+√3i)/(1+i)}6=8 {cos(π/2)+isin(π/2)}
です。あとは,cos(π/2)=0,sin(π/2)=1を代入すれば,答えとなりますね。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面18 問題 答えすべて
極形式によるZ^nの計算(2)
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