高校物理

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5分で解ける!回路の対称性に関する問題

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5分で解ける!回路の対称性に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校物理 電磁気29 練習 全部

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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立方体の12辺にすべて抵抗値Rの抵抗がつながれています。

線分ABに対して線対称な抵抗は?

高校物理 電磁気29 練習 全部

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この図を見ても、どこが直列で並列か分かりません。そんなときは、回路の対称性に注目しましょう。両端子AB間に電池をつなぐことをイメージしてください。点Aに電流が入り込み、点Bから出ていったとして、AとBを点線で結びましょう。

高校物理 電磁気29 練習 図 AB間の点線のみあり

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対称な回路 では、 電池がつながれたA,Bを結ぶ線分に対して、線対称となる抵抗は同じ電流が流れる という重要な性質がありました。

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上面の4つの抵抗は、線分ABに対して対称ですね。したがって、点Aから右向き、上向きに進んだ電流は等しく、Iと置くことができます。さらに、下向きに進んだ電流をiとしすると、点Aから入り込む電流は2I+iとなります。このとき、各抵抗を通過する電流を書き込むと下の図のようになりました。

高校物理 電磁気29 練習の図 赤字の書き込み全てあり

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書き込む中で、まったく電流が流れていない箇所が2つあることに気づきましたか。上面と下面をつなぐ導線の部分ですね。電流が流れていない縦2本の抵抗を外して図を描くと、下の図のようになります。

高校物理 電磁気29 練習 下の手書きの図

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この回路の合成抵抗を求めていきましょう。

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まず正方形の上面は抵抗2つがつながった並列接続になります。
4つの抵抗の合成抵抗をrとすると、
1/r=(1/2R)+(1/2R)
r=R
と分かります。

高校物理 電磁気29 練習 下の手書きの図と右側1−2行目の式

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さらに、残った部分の合成抵抗r'は、抵抗値Rの抵抗を3つ直列接続することになるので、
r'=3R
よって全体の合成抵抗RABは、抵抗値Rと3Rの抵抗の並列接続を考え、
1/RAB=(1/R)+(1/3R)
RAB=(3/4)R
となります

答え
高校物理 電磁気29 練習 解答
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一見複雑な回路も、点線を引いて回路の対称性を考えれば簡単な回路に描き直すことができるんですね。

回路の対称性
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      電磁気

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          抵抗の接続

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