高校数学Ⅲ
5分で解ける!分数不等式の解法に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
分数不等式の解法
解説
これでわかる!
問題の解説授業
「両辺に(x+1)をかけ算」はNG
分数関数のグラフと,1次関数のグラフを活用
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分数不等式f(x)≧g(x)の一般的な解法は次のポイントの通りです。y=(左辺の式),y=(右辺の式)という2つの関数のグラフを描くのが重要になります。
POINT
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xy平面は,上下の高さでyの値を表します。高ければ高い方がyの値は大きくなりますよね。したがって,2つのグラフを見比べ,y=f(x)のグラフがy=g(x)の上側にあるような範囲がf(x)≧g(x)となるxの範囲になるのです。
y=3/(x+1)のグラフと,y=x-1のグラフを描く
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では,この問題を実際に解いていきましょう。y=3/(x+1)のグラフは,漸近線をx=-1,y=0とする双曲線です。一方,y=x-1のグラフは,傾き1,切片-1の直線です。
交点の座標を求める
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図より,y=3/(x+1)のグラフが上側となるxの範囲が答えとなります。
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交点の座標は,2式を連立して,
3/(x+1)=x-1
両辺に(x+1)をかけ算して,
3=(x-1)(x+1)
⇔x2-1=3
⇔x2=4
となり,x=±2が解だとわかります。y=x-1に代入して,共有点の座標は,
(-2,-3),(2,1)
とわかりますね。
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y=3/(x+1)のグラフが上側となるxの範囲は,図より,x≦-2,-1<x≦2とわかりました。漸近線であるx=-1を含めないように注意して下さい。
答え
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左辺が3/(x+1),右辺がx-1という不等式です。ついつい両辺に(x+1)をかけ算して分母を払いたくなりますが,この式は(x+1)が正なのか負なのかわかっていませんよね。(x+1)が負ならば,不等号の向きが変わってしまうので,単純に両辺に(x+1)をかけ算するのは間違いになります。