高校数学Ⅲ

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5分で解ける!分数不等式の解法に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
分数不等式の解法

種々の関数5 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

「両辺に(x+1)をかけ算」はNG

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左辺が3/(x+1),右辺がx-1という不等式です。ついつい両辺に(x+1)をかけ算して分母を払いたくなりますが,この式は(x+1)が正なのか負なのかわかっていませんよね。(x+1)が負ならば,不等号の向きが変わってしまうので,単純に両辺に(x+1)をかけ算するのは間違いになります。

分数関数のグラフと,1次関数のグラフを活用

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分数不等式f(x)≧g(x)の一般的な解法は次のポイントの通りです。y=(左辺の式),y=(右辺の式)という2つの関数のグラフを描くのが重要になります。

POINT
種々の関数5 ポイント
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xy平面は,上下の高さでyの値を表します。高ければ高い方がyの値は大きくなりますよね。したがって,2つのグラフを見比べ,y=f(x)のグラフがy=g(x)の上側にあるような範囲がf(x)≧g(x)となるxの範囲になるのです。

y=3/(x+1)のグラフと,y=x-1のグラフを描く

種々の関数5 問題

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では,この問題を実際に解いていきましょう。y=3/(x+1)のグラフは,漸近線をx=-1,y=0とする双曲線です。一方,y=x-1のグラフは,傾き1,切片-1の直線です。

種々の関数5 問題 解答の手がき図 x=2,x=-2の点と,そこから上下に伸びている点線をカット

交点の座標を求める

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図より,y=3/(x+1)のグラフが上側となるxの範囲が答えとなります。

種々の関数5 問題 解答の手がき図 x=2,x=-2の点と,そこから上下に伸びている点線をカット

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交点の座標は,2式を連立して,
3/(x+1)=x-1
両辺に(x+1)をかけ算して,
3=(x-1)(x+1)
⇔x2-1=3
⇔x2=4
となり,x=±2が解だとわかります。y=x-1に代入して,共有点の座標は,
(-2,-3),(2,1)
とわかりますね。

種々の関数5 問題 解答の手がき図

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y=3/(x+1)のグラフが上側となるxの範囲は,図より,x≦-2,-1<x≦2とわかりました。漸近線であるx=-1を含めないように注意して下さい。

答え
種々の関数5 問題の答え
分数不等式の解法
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