高校数学Ⅲ

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5分で解ける!分数関数のグラフ(3)に関する問題

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5分で解ける!分数関数のグラフ(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
分数関数のグラフ(3)

種々の関数3 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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分数関数y=(2x+5)/(x+1)のグラフの描き方について解説しましょう。この問題は,分母と分子の両方にxが入っているのがポイントです。一体,どうすればよいでしょうか?

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もし,与えられた式がy={a/(x-p)}+qの形であれば,漸近線x=p,y=qとして双曲線のグラフが描けましたね。

復習
種々の関数2 ポイント
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しかし,y=(2x+5)/(x+1)の形だと,漸近線がわかりづらいです。そこで,y={a/(x-p)}+qの形を目指して式変形しましょう。

分子を分母で割る!

lecturer_avatar

分母と分子の両方にxが入る分数関数では,y={a/(x-p)}+qの形を作り出すために分子を分母で割り算します。

POINT
種々の関数3 ポイント
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分子も分母もxの1次式であれば,(分子)÷(分母)で必ずy={a/(x-p)}+qの形を作ることができます。……といっても,ポイントを見ただけではまだ実感が沸きませんよね。具体的に,y=(2x+5)/(x+1)の問題を例に解いていきましょう。

(分子2x+5)÷(分母x+1)

種々の関数3 問題

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y={a/(x-p)}+qを目指して,(分子2x+5)÷(分母x+1)を計算します。

種々の関数3 問題 解答の右上 割り算の筆算のみ

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商が2,余りが3となりました。つまり,
2x+5=(x+1)×2+3
ですね。これを分数式で表すと,

種々の関数3 問題 解答1~4行目 割り算の筆算つき

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となります。分母の (x+1)×2+3 をよく見てください。(x+1)×2の項は,(x+1)で割り切れますね。したがって,

種々の関数3 問題 解答1~5行目 割り算の筆算つき

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y={3/(x+1)}+2の形になりました。漸近線x=-1,y=2となりますね。このような双曲線のグラフを描くと,次のようになります。

答え
種々の関数3 問題 解答すべて
分数関数のグラフ(3)
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