今回のテーマは「等差数列の和の最大値」についてです。
具体的には次のようなタイプの問題を扱っていきます。

等差数列の和S_nの最大値を求めるのですね。解き方のポイントについて確認しましょう。

「a₁が正で、公差dが負の時」 という条件が重要です！a₁が正で、公差dが負の時、a_nの値はnの値が進むほど、どんどん小さくなっていき、ある時を境にa_nの値は負になります。したがって、 等差数列の和の最大値は、a_nが負になる直前まで を加えることで求まるのです。

具体例で考えて見ましょう。
初項が25、公差-10の等差数列を考えます。
この数列は
25,15,5,-5,-15,-25・・・
と続きますね。
この時、第1～3項までの数列の和は増えていきますが、 0を超えて負の値になった時から和は減っていきます ね。ということは 第3項までの合計が等差数列の和の最大値 となりますね！

公差が正である時には、等差数列の和は無限に増え続けてしまい、最大値は存在しません。また、初項も公差も負である時には、初項を最大値として和は減り続けてしまいます。 「a₁が正で、公差dが負の時」 という条件が重要なのですね。

では、例題・練習を通して、具体的な解法を確認していきましょう。