今回は合成関数について解説します。

合成関数とは，簡単に言うと，関数の中に関数を組み込んだもののことです。

例えば，f(x)=x²,g(x)=2xという2つの関数があったとします。この関数f(x)に関数g(x)を組み込んでみましょう。f(x)のxの値にg(x)を入れて，
f(g(x))={g(x)}²=(2x)²
となりますね。

2つの関数f(x),g(x)の合成関数は， (f∘g)(x) ， (g∘f)(x) と表します。 (f∘g)(x) は f(g(x)) を表し， f(x)のxの値にg(x)を入れた関数 ですね。一方， (g∘f)(x)はg(f(x)) を表し， g(x)のxの値にf(x)を入れた関数 です。

(f∘g)(x) と (g∘f)(x) は似ていますが，一致しないことが一般的なので注意してください。

では，f(x)=x+1,g(x)=2^xの合成関数を求めていきましょう。(1)の (g∘f)(x) は g(f(x)) を表し，g(x)のxの値にf(x)を入れた関数です。

したがって，
(g∘f)(x)=g(f(x))=2^f(x)
ここで，f(x)=x+1を代入すると，
(g∘f)(x)=2^x+1
と答えが求まります。

(g∘f)(x) はgが先なので，g(x)のxの値にf(x)を入れた関数です。代入する関数を間違えないようにしましょう。

(f∘g)(x)はf(g(x)) を表し，f(x)のxの値にg(x)を入れた関数です。

したがって，
(f∘g)(x)=f(g(x))=g(x)+1
ここで，g(x)=2^xを代入すると，
(f∘g)(x)=2^x+1
と答えが求まります。(f∘g)(x)と(g∘f)(x)はまったく異なる関数になりましたね。