高校数学Ⅲ

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5分で解ける!逆関数とは?に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
逆関数とは?

種々の関数11 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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今回から計5回の授業で逆関数について解説していきます。

逆関数とは?

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まずは関数の定義について振り返っておきましょう。yがxの関数であるとは,xの値が1つに決まる時,yの値も1つに決まる関係のことを言いましたね。y=f(x)という関数で,x=aの値に,y=bの値が対応するとき, b=f(a) と表すことができます。

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では,y=f(x)の逆関数はいったいどんな関数を表すのでしょうか? 逆関数とは,y=f(x)で,x=aの値に,y=bの値が対応するとき,その逆のx=bの値に,y=aの値が対応する関数のことをいいます。つまり,y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると, x=bの値に,y=aの値が対応するa=g(b) が成り立つのです。……といっても,抽象的な話ばかりでは,イメージできませんよね。具体的な問題を通して解説していきます。

y=2x+1の逆関数

種々の関数11 問題

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1次関数y=2x+1の逆関数について考えていきましょう。y=2x+1に,x=1,2,3……と代入してみると,
x=1のときy=3
x=2のときy=5
x=3のときy=7
となりますね。

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では逆関数におけるx,yの値の組はどうなるでしょうか?y=2x+1という関数について,x=aの値にy=bが対応するとき,逆関数ではx=bの値に,y=aが対応します。aを代入するとbが出てくる関数に対して,bを代入するとaに逆戻りする関数逆関数なのですね。したがって,y=2x+1の逆関数では,
x=3のときy=1
x=5のときy=2
x=7のときy=3
となるのです。

逆関数の求め方

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逆関数のイメージがつかめましたか? 逆関数の式は,次の2つの手順に従えば簡単に求めることができます。

POINT
種々の関数11 ポイント
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実際にy=2x+1の逆関数を求めてみましょう。

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手順1 y=f(x)を,x=(yの式)にする
y=2x+1をxについて解くと,
2x=y-1
x=(y-1)/2
となりますね。

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手順2 yとxを書き換えて,y=f(x)の式にする
x=(y-1)/2のyとxを書き換えて,
y=(x-1)/2
これがy=2x+1の逆関数を表すのです。

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確かにy=2x+1に,x=1,2,3……と代入すると,
x=1のときy=3
x=2のときy=5
x=3のときy=7
となるのに対して,逆関数y=(x-1)/2では,
x=3のときy=1
x=5のときy=2
x=7のときy=3
となりますね。

答え
種々の関数11 問題の答え
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大事なのは,逆関数を求める手順です。次のポイントの手順をしっかり覚えておきましょう。

POINT
種々の関数11 ポイント
逆関数とは?
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          逆関数と合成関数

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