高校数学Ⅲ

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5分で解ける!無理関数の逆関数に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
無理関数の逆関数

種々の関数14 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=-√(2x)の逆関数を求める問題です。

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逆関数を求めるときには,2つの手順がありましたね。
① y=f(x)を,x=(yの式)にする
② yとxを書き換えて,y=f(x)の式にする
この2つの手順に加え,y=(√xの式)で表される無理関数では定義域値域のチェックを行う必要があります。

x,yのとりうる値の範囲が制限される

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具体的な問題を通して解説しましょう。

種々の関数14 問題

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数学では,ルートの中の値は0以上という約束がありましたよね。したがって,2x≧0であり,定義域x≧0と限定されます。また,-√(2x)≦0より,値域y≦0と限定されます。

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つまり関数y=-√(2x)は,
定義域:x≧0
値域:y≦0
となります。無理関数ではx,yのとりうる値の範囲が限定されるということをしっかりおさえておかないと,逆関数を求めるときに思わぬミスをしてしまいます。

逆関数でも,x,yの範囲が制限される

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定義域,値域を考慮して,関数y=-√(2x)の逆関数を求めます。

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① y=f(x)を,x=(yの式)にする
y=-√(2x)の両辺を2乗して,
y2=2x
x=y2/2
このとき,x≧0,y≦0に制限されますね。

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② yとxを書き換えて,y=f(x)の式にする
x=y2/2のxとyを書き換えて,
y=x2/2
ここで,逆関数の定義域,値域に注意してください。y=-√(2x)では,x≧0,y≦0であったので,xとyを書き換えると,逆関数ではy≧0,x≦0です。解答では,この
定義域:x≦0
値域:y≧0
まで書いておかないと,正解にはなりません。

答え
種々の関数14 答え
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逆関数を関数y=x2/2と記してしまうと,xの値は実数全体をとりますよね。原点を頂点とする放物線がイメージできると思います。しかし,実際の逆関数はy=x2/2のうちx≦0の部分なので,原点を頂点とする放物線のうち左半分しかありません。無理関数の逆関数x,yのとりうる値の範囲が限定されるということをしっかりおさえておきましょう。

POINT
種々の関数14 ポイント
無理関数の逆関数
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      種々の関数

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          逆関数と合成関数

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