高校数学Ⅱ

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5分でわかる!f'(a) は接線の傾き

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5分でわかる!f'(a) は接線の傾き

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この動画の要点まとめ

ポイント

f'(a)は接線の傾き

高校数学Ⅱ 微分法と積分法8 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業

微分係数は接線の傾きになる

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今回のテーマは「f'(a)は接線の傾き」です。
これまで、微分係数の求め方について学習してきましたね。関数f(x)における微分係数f'(a)は、 関数y=f(x)のグラフ で考えるとき、実は x=aにおける接線の傾きになる のです。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法8 ポイント
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このポイントだけを見てサッと理解できる人は少ないと思います。内容を詳しく解説していきましょう。

関数y=f(x)上に2点A,Pをとる

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まず曲線C:y=f(x)上に、点A(a,f(a))と点P(a+h,f(a+h))をとります。点Pは、点Aからx座標がh離れた曲線上の点ですね。

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この時、線分APの傾きは yの増加量/xの増加量 より
f(a+h)-f(a)/(a+h)-a = f(a+h)-f(a)/h
となりますね。

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点Aを通る曲線上の接線ℓを考えるとき、点Pをどんどん点Aに近づけていくことを考えてください。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法8 ポイント 図のみ
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すると、(APの傾き)が、どんどん(ℓの傾き)に近づいていきますね。つまり、点P(a+h,f(a+h))において、hの値を限りなく0に近づけると、(APの傾き)が(ℓの傾き)になるのです。

hを0に近づけるときの極限値

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ここで、微分係数f'(a)の求め方を思い出しましょう。

復習
高校数学Ⅱ 微分法と積分法3 ポイント
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limの後ろの部分を見ると、 APの傾きの式と同じ ですね!
よって、 f'(a)=limh→0APの傾き となりますね。 hが限りなく0に近づいていく と、 線分APの傾きはlの傾き になります。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法8 ポイント
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したがって、 関数y=f(x)のグラフ では、 x=aにおける接線の傾きはf'(a)の値になる のです。

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実際に問題を解きながら、このポイントを身につけていきましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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f'(a) は接線の傾き
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