高校数学Ⅱ
5分でわかる!相加・相乗平均の大小関係の活用
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この動画の要点まとめ
ポイント
相加・相乗平均の大小関係の活用
これでわかる!
ポイントの解説授業
相加・相乗平均とは?
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相加平均 は「互いにたし算したときの平均」、つまり 「2つの和の平均値」 のことをいいます。一方、 相乗平均 は「互いにかけ算したときの平均」、つまり 「2つの積の平均値」 のことをいいます。
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2つの数をa、b(a>0、b>0)としたとき、相加平均と相乗平均は次のように表すことができます。
相加平均
![高校数学Ⅱ 式と証明24 ポイント 2行目の左辺のみ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/1_4_24_1/k_mat_2_1_4_24_1_image02.png)
相乗平均
![高校数学Ⅱ 式と証明24 ポイント 2行目の右辺のみ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/1_4_24_1/k_mat_2_1_4_24_1_image03.png)
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2数の和を平均するときは2で割り、2数の積を平均するときは√をかぶせるのですね。
「相加平均≧相乗平均」となる
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相加平均と相乗平均の間には次のような不等式が成り立ちます。
相加平均≧相乗平均
![高校数学Ⅱ 式と証明24 ポイント 1、2行目のみ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/1_4_24_1/k_mat_2_1_4_24_1_image04.png)
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ただし、この形で覚えても実際の問題ではあまり役立ちません。実際の問題で使えるのは次のポイントの式。両辺に2をかけた形なんです。
POINT
![高校数学Ⅱ 式と証明24 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/1_4_24_1/k_mat_2_1_4_24_1_image01.png)
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つまり、 「2数の和は、2数の積に√をかぶせたものの2倍以上になる」 のです。
等号成立はa=bのとき
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相加・相乗平均の大小関係は、最小値を求めるときに使われる重要な公式です。 等号が成立する条件は「a=bのとき」 だということもしっかりおさえておきましょう。
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今回のテーマは 相加・相乗平均 の活用です。
「相加平均」「相乗平均」という言葉をみなさんは聞いたことがありますか?