気体n[mol]に熱量Q_inを与える定積変化で、気体の温度がΔTだけ上がったとき、
Q_in=nC_VΔT
と表せることを学習しましたね。 定積モル比熱C_V は、定積変化において物質1[mol]の温度を1[K]上昇させるのに必要な熱量を表します。

この式と 単原子分子の内部エネルギーの式 をあわせることで、定積モル比熱C_Vがどんな値になるかを考えてみましょう。

定積変化とは体積が一定の変化です。体積が一定ということは、気体は外部に仕事をしません。W_out=0です。これを熱力学第一法則に代入すると、
Q_in＝ΔU
となり、 気体が吸収した熱量はすべて内部エネルギーの増加 にあてられることになります。つまり、
Q_in＝ΔU=nC_VΔT……①
ですね。

一方、内部エネルギーの増加ΔUを別の式で表してみましょう。 単原子分子の内部エネルギーUは(3/2)nRT と表すことができました。つまり、
ΔU=(3/2)nRΔT……②

①、②の式より、
nC_VΔT=(3/2)nRΔT
⇔ C_V=(3/2)R
単原子分子においては、 定積モル比熱C_Vが(3/2)R であることがわかります。