高校物理

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5分で解ける!ケプラーの第三法則に関する問題

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5分で解ける!ケプラーの第三法則に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校物理 運動と力83

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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冥王星の周期を求める問題ですね。地球における楕円軌道の半長軸の長さと周期を手掛かりにして、ケプラーの第三法則を利用してみましょう。

冥王星と地球の楕円軌道を図示する

高校物理 運動と力83 練習 問題文

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冥王星の楕円軌道を描きましょう。長軸には焦点が二か所あり、ケプラーの第一法則から太陽はこの楕円の焦点のどちらかにありますね。地球は問題文よりほぼ円軌道なので、太陽のまわりに半径rの円軌道を描けます。

高校物理 運動と力83 練習 手書き図

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冥王星の遠日点距離50[AU]は、地球の軌道半径の50倍で50rと表せます。同様に近日点距離は30[AU]なので30rと表せますね。また、地球の公転周期をT0とすると、これは1年でしたね。

Tの2乗をaの3乗で割った値は一定

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ここでケプラーの第三法則を思い出しましょう。

高校物理 運動と力83 練習 図の左下1行目

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Tの2乗をaの3乗で割った値が一定になる ということは、冥王星でも地球でも同じ値を取るということです。

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冥王星の半長軸aは、
(30r+50r)/2=40r
ですね。冥王星の周期をTとすると、ケプラーの第三法則より、
T2/(40r)3=(一定)
となります。これと地球におけるケプラーの第三法則についての式を比較しましょう。地球の周期はT0であり、半長軸は半径rです。したがって地球の式は、
T02/r3
冥王星の式と地球の式をイコールで結ぶと、Tの値を次のように求めることができます。

答え
高校物理 運動と力83 練習 図の右下すべて
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地球の周期T0が1年であることと、有効数字2桁に注意して計算しましょう。冥王星の周期はだいたい250年だということがわかりました。

ケプラーの第三法則
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