ケプラーの法則を利用して、最終的に人工衛星の近地点での速さvを求める問題です。人工衛星が地球を焦点とする楕円軌道を描くのは、まさにケプラーの第一法則ですね。近地点とは、楕円軌道上で地球にもっとも近い場所という意味です。反対に、遠地点は地球からもっとも遠い場所のことを指します。焦点が太陽の場合は、それぞれ近日点、遠日点といいましたね。

(1)は遠地点における速さVが近地点における速さvの何倍であるかという問題です。ケプラーの第二法則、 面積速度 に注目すればよいですね。

ケプラーの第二法則より、面積速度は保存されます。図のように物体が1秒間に描く面積は三角形の面積で表現でき、その大きさは一定になるのです。

人工衛星は地球から万有引力を受けて楕円軌道を描いています。万有引力は保存力なので、力学的エネルギーが保存されることがわかります。

位置エネルギーは無限遠を基準としていることに注意して、立式しましょう。 近地点 における 運動エネルギー は速度がvであることから (1/2)mv² 、 位置エネルギー は −GMm/r となります。同様に、 遠地点 における 運動エネルギー は (1/2)mV² 、 位置エネルギー は −GMm/R となります。

(1)と(2)で得られた2つの式は、Vとvについての連立方程式になっていることに気づきましたか？(2)の結果に(1)の結果を代入してVを消去し、vについて解きましょう。

計算が複雑になるので、ミスをしないように落ち着いて解いていきましょう。