高校数学A

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5分で解ける!「直線と平面の垂直」の証明に関する問題

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5分で解ける!「直線と平面の垂直」の証明に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学A 図形の性質44 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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線分AOが平面BCDEに垂直であることを証明する問題だね。直線が平面に垂直であることを示すには、 平面上の2直線に対して垂直である ことを示す必要があったね。

POINT
高校数学A 図形の性質44 ポイント

証明の方針を立てよう!

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まず、AOを図に記入してみよう。

高校数学A 図形の性質44 例題の答え 問題の図にAOを記入したもの
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線分AOと平面BCDEが垂直であることを証明するには、 平面BCDE上の2直線と、AOが垂直である ことを示せばいいんだったね。図を見てみると、対角線の BDEC がとても怪しいよね。 AO⊥BDAO⊥EC がいえないかを考えていこう。

線分AOと直線BDの関係は?

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△ABDに注目すると、AB=ADより、 △ABDは二等辺三角形 だね。

高校数学A 図形の性質44 例題の答え 問題の図にAOを記入したもの
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BDは正方形の対角線で、点Oは対角線の交点。正方形の2つの対角線は、中点で交わるから、BO=DOだよ。 二等辺三角形において、底辺の中点と頂点を結んだ線は、底辺の垂直二等分線になる という性質があったよね。以上のことから、 AO⊥BD を示すことができたね。

証明を仕上げていこう!

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同じようにして、△AECについて考えると、 AO⊥EC も示すことができるね。つまり、 AO⊥BD、AO⊥EC より、 AOは平面BCDEと垂直 だと証明できるんだ。証明の記述は、次の例のように書くことができるよ。

答え
高校数学A 図形の性質44 例題の答え
「直線と平面の垂直」の証明
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