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円柱・円すいの表面積の求め方がサクッとわかる
1.ポイント
立体の表面積を求める問題のうち、特に難しいのが円柱・円すいの表面積を求める問題です。
どう表面積を計算したらいいかイメージしにくいですよね。円柱・円すいは、次の2つの手順で表面積を求めましょう。
手順1 展開図をイメージ
円柱・円すいをはさみでチョキチョキと切って開くことをイメージしてください。 展開図の面積 が、表面積になります。
円柱の正体 は、 2つの円 と 長方形 だとわかりました。同じように、 円すいの展開図 は次のようになります。
円すいの正体 は、 1つの円 と おうぎ形 だとわかりますね。
手順2 展開図の面積を求める
展開図をイメージできたら、それらの面積の合計を求めます。ただし、この計算が結構大変です。実は、展開図の長方形やおうぎ形の面積を求めるにはコツがいります。円柱・円すいに共通する大事なポイントをおさえておきましょう。
底面の円周とくっつく部分に注目しよう！
このポイントをおさえた上で、実際に問題を解いてみましょう。
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2. 円柱の表面積を求める問題
問題1
図の円柱の表面積を求めなさい。
問題の見方
円柱の表面積は次の2つの手順で求めます。
手順1 展開図をイメージ
円柱を展開すると、 底面の2つの円 と 側面の長方形 になりますね。
手順2 展開図の面積を求める
2つの円 と 長方形 の面積を合計しましょう。図を見ると、 底面の円の半径は5cm 、 長方形の縦の長さは9cm だとわかりますね。ただし、 長方形の横の長さ がわかりません。どう求めますか？ ポイントを思い出しましょう。側面の長方形の横は、底面の円の円周とぴったりくっつく ので、$$(長方形の横の長さ)=(半径5cmの円周)=2\pi×5(cm)$$と求められますね。
解答
底面積 は、半径5cmの円の面積2つ分なので、
$$\pi×5^2×2=50\pi(cm^2)$$
側面積 は、縦の長さ9cm、横の長さ2π×5(cm)の長方形なので、
$$9×2\pi×5=90\pi(cm^2)$$
よって、円柱の表面積は、(側面積)+(底面積)より、
$$50\pi+90\pi=\underline{140\pi(cm^2)}$$
映像授業による解説
3. 円すいの表面積を求める問題
問題2
図の円すいの表面積を求めなさい。
問題の見方
手順1 展開図をイメージ
円すいを展開すると、 底面の1つの円 と おうぎ形 になりますね。
手順2 展開図の面積を求める
1つの円 と おうぎ形 の面積を合計しましょう。このとき、 底面の円の半径は6cm 、 おうぎ形の半径は9cm だと図からわかります。おうぎ形の面積は、半径$$r(cm)$$、中心角$$a^\circ$$のとき、$$\pi{r}^2×\frac{a}{360}(cm^2)$$で求められますね。いま、おうぎ形の半径はr=9(cm)とわかっているので、あとは 中心角 さえわかれば、面積が求められます。ここでポイントを思い出しましょう。 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円の円周とぴったりくっつく ので、$${(半径9cmのおうぎ形の弧の長さ)=(半径6cmの円周)}$$と立式できます。この式を利用して、 中心角a を求め、 面積 へとつなげていきます。
解答
底面積 は、半径6cmの円の面積なので、
$$\pi×6^2=36\pi(cm^2)$$
側面のおうぎ形について、半径は9cmである。中心角をa°とすると、面積は、
$$\pi×9^2×\frac{a}{360}(cm^2)$$
ここで、半径9cmのおうぎ形の弧の長さは，半径6cmの円周と等しい2π×6(cm)なので、
$$2\pi×9×\frac{a^\circ}{360^\circ}=2\pi×6$$
これを解くと，中心角a°の大きさは、
$$a^\circ=\frac{2\pi×6}{2\pi×9}×360^\circ=240^\circ$$
よって、 側面のおうぎ形の面積 は、
$$\pi×9^2×\frac{240}{360}=54\pi(cm^2)$$
円すいの表面積は、(側面積)+(底面積)より、
$$36\pi+54\pi=\underline{90\pi(cm^2)}$$
映像授業による解説
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この記事は、 「円柱や円すいの表面積の求め方がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、円柱・円すいの表面積の問題がサクッと解ける ようになります。