円柱・円すいの体積の求め方がサクッとわかる

この記事は， 「円柱・円すいの体積の求め方がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば，円柱・円すいの体積がサクッと求められる ようになります。

1.ポイント

下の図の左が円柱，右が円すいです。柱とすいの見分け方はわかりますか？ まっすぐとはしらのように立っている方が柱，てっぺんがとがっている方がすいです。

これらの体積を求めるときには，立体の体積を求める公式を使います。立体の体積を求めるときの基本は(底面積)×(高さ)です。ただし、～～すいという名称の立体のときには、$$\frac{1}{3}$$をかけ算するのを忘れないようにしましょう。

ココが大事！

立体の体積を求める公式は2パターン

ようするに，底面積と高ささえわかれば，円柱でも円すいでも簡単なかけ算で体積が求められるのですね。このポイントをおさえた上で，実際に問題を解いてみましょう。

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2. 円柱の体積を求める問題

問題1

図の円柱の体積を求めなさい。

問題の見方

立体の体積を求める公式より、～～柱とつく立体の場合，
(底面積)×(高さ)=(体積)
で求められますね。

底面積はこの部分です。

あとは 高さ が知りたいですよね。図からこの部分だとわかります。

解答

底面積は，半径5cmの円の面積なので，
$$\pi×5^2=25\pi(cm^2)$$
高さは9cmなので， (底面積)×(高さ)=(体積) より，
$$25\pi×9=\underline{225\pi(cm^3)}$$

映像授業による解説

動画はこちら

3. 円すいの体積を求める問題

問題2

図の円すいの体積を求めなさい。

問題の見方

立体の体積を求める公式より，～～すいとつく立体の場合，
$$(底面積)×(高さ)×\frac{1}{3}=(体積)$$
で求められます。～～すいの立体のときは，$$\frac{1}{3}$$をかけ算するのがポイントです。

まず，底面積から求めると，次の図の部分だとわかります。

あとは 高さ が知りたいですよね。図からこの部分だとわかります。

解答

底面積 は，半径6cmの円の面積なので，
$$\pi×6^2=36\pi(cm^2)$$
高さは8cmなので，
$$(底面積)×(高さ)×\frac{1}{3}=(体積)$$
より，
$$36\pi×8×\frac{1}{3}=\underline{96\pi(cm^3)}$$

映像授業による解説

動画はこちら

4. 【発展】円すいの体積を求める問題

問題3

図の円すいの体積を求めなさい。

問題の見方

問題2と同じように，
$$(底面積)×(高さ)×\frac{1}{3}=(体積)$$
で求めたいのですが，(高さ)がわかりません。いったいどうすればよいでしょうか？

ポイントになるのは 三平方の定理(中学3年生で学習) です。直角三角形の三辺をa，b，c(cは斜辺)とするとき，三平方の定理より，
$$a^2+b^2=c^2$$
が成り立ちます。図の円すいで，母線の10cmを斜辺，底面の円の半径の6cmを底辺とする直角三角形に注目すると，

円すいの高さhについて三平方の定理により，
$$h^2+6^2=10^2$$
と立式できます。この式から(高さ)がわかれば、(底面積)×(高さ)=(体積)で計算できますね。

解答

底面積 は，半径6cmの円の面積なので，
$$\pi×6^2=36\pi(cm^2)$$
高さをh(cm) とおくと，三平方の定理より，
$$h^2+6^2=10^2$$
$$h^2=10^2-6^2=100-36=64(cm)$$
つまり，
$$h=8(cm)$$
求める円すいの体積は，
$$36\pi×8×\frac{1}{3}=\underline{96\pi(cm^3)}$$

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