今回は、 交流電源にコンデンサーを接続した回路 について解説します。

電圧V=V₀sinωt[V]で表される交流電源に、電気容量C[F]のコンデンサーをつなぎます。

まず、この コンデンサーに蓄えられた電気量Q[C] を式で表してみましょう。コンデンサーの基本公式Q=CVより、
Q=CV₀sinωt
となりますね。コンデンサーの電気量Qは時間tの変化に伴い、増えたり減ったりすることが分かります。

次に、この 回路に流れる電流I[A] を式で表してみましょう。 電流 は、 1[s]あたりに通過する電気量 のことなので、
I=ΔQ[C]/Δt[s]
で求められます。つまり、先ほど求めた電気量の式 Q=CV₀sinωt を tで微分した式 が電流Iを求める式になるのです。よって、
I=dQ/dt
=d/dt(CV₀sinωt)
= ωCV₀cosωt
電流Iを式で表すことができました。ただし、cosの式になってしまい、電圧の式V=V₀sinωtとの位相の関係がわかりづらくなってしまいました。

そこで、電流Iの式を三角関数の公式 sin(x+π/2)=cosx を使って、sinの形に変形しましょう。
I=ωCV₀sin(ωt+π/2)
電流Iは電圧よりも位相がπ/2、つまり 90°進んでいる ことが分かります。さらに 電流の最大値I₀=ωCV₀ と表せることから、
V₀=(1/ωC)×I₀
というきれいな関係式が導けました。

電流と電圧の関係を表した
V₀=(1/ωC)×I₀
の式をよく見てください。 式の1/ωCは、オームの法則V=RIの抵抗Rに相当 しますよね。 1/ωCの単位はΩ(オーム) となるのです。

電気容量Cのコンデンサーを交流に接続したとき、抵抗に相当する1/ωCを コンデンサーのリアクタンス または 容量リアクタンス と言います。

最後に、電圧Vと電流Iの位相のズレを単振動に置き換えて理解しておきましょう。

始点を固定したV₀ベクトルが、横向きの状態から角速度ωで等速円運動するとします。この単振動の位置が、電圧Vの値を表しますね。一方、電流Iを単振動に置きかえたものは、V₀ベクトルより90°進み、長さがI₀となったベクトルです。

交流電源に抵抗をつなげるとき、電流Iと電圧Vは 同位相 になりますが、コンデンサーをつなげた場合は 電流Iが電圧Vよりも90°先に進んでいる のですね。