y=sinθ+√3cosθの最大値、最小値を求める問題ですね。この問題を解くカギは、三角関数の合成になります。

sinθ+√3cosθの最大値、最小値を求める問題です。-1≦sinθ≦1、-1≦cosθ≦1をもとに考えると、sinθがθ=π/2で最大値1をとるとき、cosθはθ=π/2で0になってしまうなど、うまく最大、最小が決まりません。

こんなときは、三角関数の合成を使って、 1つの三角関数にまとめる のが大事です。

手順通りに合成すると、次のようになりますね。

sinでまとめることができました。
θは自由に動けるので
-1≦sin(θ+π/3)≦1
全体を2倍して
-2≦2sin(θ+π/3)≦2

よって最大値は2,最小値は-2と求まります。