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「円と相似」の証明問題の解き方のコツ
1.高校受験の頻出パターン
円の中にいくつかの三角形があり，相似であることを証明したり，角度を求めたりする問題は，高校入試では超頻出となっています。しかし，円の分野は中学3年生の後半に駆け足で学習することが多く，「解き方がよくわからない……」と悩む生徒が多いようです。
2.ポイント
円と相似の問題には，実は明確な解き方のコツがあります。ここでは，いくつかあるポイントのうち2つを紹介しましょう。
円周角の定理を使って，等しい円周角を探す！
1つ目のポイントは，「円周角の定理を使って，等しい円周角を探す」です。円の角度のうち，円周角が等しくなるものは「角度が等しいマーク」をつけておきましょう。円周角の定理を使って等しい角をバンバン見つけておくと，相似の証明がしやすくなるのです。
というのも，相似を証明する方法は，
① 3組の辺の比がすべて等しい
② 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
③ 2組の角がそれぞれ等しい
の3通りがありましたね。このうち，円が絡んだ問題で圧倒的に出やすいのが， ③ 2組の角がそれぞれ等しい です。等しい角に注目することで相似の証明がしやすくなります。
2つ目のポイントは，相似になる頻出パターンを見破れるようにしておくことです。
円と相似は「砂時計」に注目！
円の問題では，上の図のような砂時計型の図形や，砂時計を横に倒した蝶ネクタイのような図形がとてもよく出てきます。砂時計でできる2つの三角形は，上図のように，円周角の定理を使うと2つの角が等しいことがわかり，相似だとわかります。円の中に砂時計や蝶ネクタイが出たら相似と反応できるようにしておきましょう。
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3. 円と相似の証明問題
問題1
図の円で，4点A，B，C，Dが円周上にある。AC，BDの交点をPとするとき，△APB∽△DPCであることを証明しなさい。
問題の見方
図を見て， 砂時計だ！ と反応できましたか？ この問題では，砂時計をつくっている△APBと△DPCの相似を証明します。弧AD，弧BCの円周角に注目すると，
のように，等しい角が見えますね。2組の角がそれぞれ等しいことから相似が証明できます。
解答
弧ADに対する円周角は等しいから，
∠ABD=∠ACD ……①
弧BCに対する円周角は等しいから，
∠BAC=∠BDC ……②
△APBと△DPCにおいて，①，②より，
∠ABP=∠DCP ……③
∠BAP=∠CDP ……④
③，④より，2組の角がそれぞれ等しいから，
△APB∽△DPCである。 (証明終わり)
映像授業による解説
4. 【発展】円と相似の証明問題
問題2
図のように，3点A，B，Cは円Oの円周上の点で，OA⊥OBである。直線BOが，AC，円Oと交わる点を，それぞれD，Eとして，点Eと点Cを結ぶ。ただし，点Cは，直径BEについて点Aの反対側にあるものとする。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ ∠ABEの大きさを求めなさい。
⑵ △ABC∽△EDCを証明しなさい。
⑶ △EDC以外で△ABCに相似な三角形を，記号を用いて書きなさい。
問題の見方
(1)
∠ABEの大きさを求めます。角度については，問題文のOA⊥OBから，∠AOE=90°であることがわかっていますね。
弧AEに対する円周角∠ABEは，中心角∠AOEの半分の大きさになります。
(2)
△ABCと△EDCの相似を証明します。円と相似の証明問題では，次のポイントを思い出しましょう。
円周角の定理を使って，等しい円周角を探す！
すると，∠BACと∠DECは，弧BCの円周角で等しいことがわかりますね。
あともう1つ等しい角を見つけられれば、相似の証明ができます。(1)の結果をヒントにして考えてみましょう。
(3)
△EDCは，まさしく砂時計の片割れですね。砂時計の相似に注目して，△EDCと相似な三角形を見つければ，答えとなります。
解答
(1)
∠ABEに対応する中心角∠AOEは90°であるから，
$$∠ABE=\underline{45^\circ}……(答え)$$
(2)
△ABCと△EDCにおいて，
弧BCに対する円周角より，
∠BAC = ∠DEC ……①
弧ABに対する円周角より，
∠ACB=$$\frac{1}{2}$$∠AOB=45° ……②
弧AEに対する円周角より，
∠ECD=∠EBA=45° ……③
②，③より，∠ACB=∠ECD ……④
①，④より，2組の角がそれぞれ等しいので，
△ABC∽△EDCである。 (証明終わり)
(3)
円周角の性質より，∠BAD=∠CEDかつ∠ABD=∠ECDであるから，
△EDC∽△ADB
よって，条件を満たす三角形は，
$$\underline{△ADB}……(答え)$$
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この記事は、 「『円と相似』の証明問題がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、「円と相似」の証明問題で注目すべき図形が一瞬で見抜ける ようになります。