今回のテーマは「数列の漸化式(3)」です。
漸化式とは、 数列の隣り合う項の間で常に成り立つ関係式 のことを言いましたね。これまで等差数列型・等比数列型・階差数列型の漸化式を学習しました。今回は仕上げに一番難しいタイプの漸化式について学習します。

例えば、a_n+1=3a_n+4といった漸化式を考えてみてください。これまでに学習した等差数列型・等比数列型・階差数列型の漸化式の解法では解くことができませんね。そこで出てくるのが 特性方程式 を利用した解法です。

特性方程式は a_n+1、a_nの代わりにαとおいた式 のことを言います。ポイントを確認しましょう。

特性方程式をポイントのように利用すると、漸化式は、
a_n+1-α=p(a_n-α)
と変形できますね。
これは、 数列{a_n-α}が等比数列 であることを示しています。αについては、特性方程式α=pα+qを解くことにより、具体的な値として求めることができます。

ただし、はじめてこのタイプの問題を目にする生徒は、具体的なイメージがついていないと思います。例題・練習を通して、段階的に演習を積んでいきましょう。