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等積変形の手順とポイントをわかりやすく解説
1.等積変形とは？
等積変形とは，図形の面積を変えずに，形を変えることを言います。例えば，次の図を見てください。
2つの平行線ℓ，mに挟まれた△ABPがあります。この図で，点Pを直線ℓ上で少しずつ動かしてみましょう。
点Pの位置が点P'まで動くと，三角形の形が変わっていますね。しかし，面積に注目すると，どうですか？ △ABPも△ABP'も，底辺が辺AB，高さがhです。三角形の面積公式，(底辺)×(高さ)÷2を考えると，△ABPも△ABP'も同じ面積なので，等積変形したと言えますね。
2.ポイント
等積変形の重要なポイントは，平行線の間で，三角形の底辺を固定して頂点を動かすということです。
等積変形
受験問題では，等積変形を利用する様々な難問がありますが，どれも平行線の間で，三角形の底辺を固定して頂点を動かすのが基本だということをおさえておきましょう。
3. 同じ面積の三角形を探す問題
問題1
AD//BCの台形ABCDの対角線の交点をOとするとき，次の問いに答えなさい。
(1) △ABCと面積の等しい図形はどれか。
(2) △ACDと面積の等しい図形はどれか。
(3) △ABOと面積の等しい図形はどれか。
問題の見方
(1)(2)
面積の等しい図形を探すときは，等積変形に注目します。平行線AD，BCにはさまれた三角形に注目してみましょう。
底辺BCを共通とする△ABCと△DBC，底辺ADを共通とする△ABDと△ACDはそれぞれ面積が等しいとわかりますね。
(3)
△ABOは，平行線にはさまれていません。しかし，(2)の結果を利用すると，見えてくるものがあります。
△ABDと△ACDの面積が同じとき，両方に共通する△AODの面積を引き算すると，△ABOと等しい三角形が見えてきます。
解答
(1)
$$\underline{△DBC}……(答え)$$
(2)
$$\underline{△ABD}……(答え)$$
(3)
△ABO=△ABD-△AOD=△ACD-△AOD=△DCOより，
$$\underline{△DCO}……(答え)$$
映像授業による解説
4. 面積を変えないような直線を描く問題
問題2
図のように，長方形が折れ線PQRで左右2つの部分に分かれている。点Pを通り，左右2つの部分の面積を変えないような直線を描きなさい。
問題の見方
問題文にある 「面積を変えないような直線」 という表現に反応しましょう。等積変形が使えるパターンです。等積変形は平行線に挟まれた三角形に注目するのがポイントです。次のように強引に△PQRを作ってみましょう。
△PQRで，底辺PRに平行な直線を点Qを通るようにひきます。この直線上で点Qを移動させた点をQ'とすると，△PQRと△PQ'Rの面積は等しくなりますね。
問題では， 「点Pを通り，それぞれの部分の面積を変えない」 という条件があるので，点Qを通る平行線と四角形の辺との交点を，点Pと結びましょう。
解答
この記事は、 「等積変形がわからない」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、等積変形の手順とポイントがしっかりわかる ようになります。