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5分でわかる!階差数列から一般項を求める(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

階差数列から一般項を求める(1)

高校数B 数列20 ポイント

これでわかる!

ポイントの解説授業

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今回のテーマは「階差数列から一般項を求める」です。

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(後ろの項)-(前の項)で作られる数列階差数列 といいましたね。階差数列によってつくられる数列の一般項を求めるには、どのようにしたらよいでしょうか? 公式を紹介しましょう。

POINT
高校数B 数列20 ポイント
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階差数列によってつくられる数列{an}の一般項は、ポイントの右下の式になります。
つまり、
an=(初項)+(階差数列の和)
となるのですね!

階差数列のbnの和を考えよう

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なぜ、階差数列によってつくられる数列{an}の一般項はこのように表されるのでしょうか?ポイントの内容を解説していきましょう。

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階差数列によってつくられる数列a1,a2,a3,a4……anがあるとします。
この時、隣り合う項の差に注目すると、
a2-a1 =b1
a3-a2 =b2
a4-a3 =b3
an-an-1 =bn-1
となりますね。
(左辺)をすべてタテに足し算すると、
-a1+(a2-a2)+(a3-a3)+……+(an-1-an-1)+anとなり、残るのは an-a1 となります。

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次に(右辺)をすべてタテに足し算すると、 第1項から第n-1項までの数列{bn}の和 となりますね。よって an-a1=Σbk となり、次のポイントの公式が成り立つのです。

POINT
高校数B 数列20 ポイント
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なお、 n≧2 という条件を忘れないようにしましょう。階差数列は2項の差によってできる数列なので、 n≧2 である必要があります

Asami
この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

階差数列から一般項を求める(1)
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