中2数学

平行四辺形の証明で知っておくべき5つの方法

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この記事は、 「平行四辺形の証明問題がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、簡単に平行四辺形に関する証明問題が解ける ようになります。

1.平行四辺形とは?

平行四辺形は、向かい合う2組の辺が平行な四角形です。

テスト記事 中2 数学3 平行四辺形の図

ある四角形について,①2組の対辺がそれぞれ平行であると示せば,平行四辺形であることが証明できるのはわかりますね。

2.ポイント

ただし,「2組の対辺が平行=平行四辺形」と覚えるだけでは,平行四辺形の証明問題は解けません。ある四角形が平行四辺形であると示すには,全部で5つの方法があります。次の平行四辺形であるための条件は文言まですべて覚えましょう。

ココが大事!

平行四辺形であるための条件

テスト記事 中2 数学3 平行四辺形の条件

覚えることがたくさんあって大変ですよね。暗記のコツは, 「辺・角・対角線」「合わせ技」 です。まず 「辺・角・対角線」 は,
② 2組の対辺がそれぞれ等しい
③ 2組の対角がそれぞれ等しい
対角線はそれぞれの中点で交わる
の3つです。 平行四辺形の性質 の裏返しですね。ある四角形が平行四辺形であれば②,③,④が成り立ちます(平行四辺形⇒②,③,④)。その逆に,ある四角形で②,③,④が成り立てば,平行四辺形であるということが言えるのです(②,③,④⇒平行四辺形)。

これらに加え,次の 「合わせ技」 も覚えましょう。
1組の対辺等しくかつ平行
1組の対辺に注目して,長さが等しいことと,平行であることが両方言えれば,平行四辺形であることが証明できるのです。

ココが大事!

平行四辺形であるための条件

テスト記事 中2 数学3 平行四辺形の条件

この5つは平行四辺形であるための条件として,文言をそのまま覚えましょう。三角形の合同条件と同じように,証明問題ではこの文言が必要となります。

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3. 平行四辺形になる四角形を見つける問題

問題1

四角形ABCDの対角線の交点をOとするとき,四角形ABCDが平行四辺形となるために必要な条件は,次の①~⑧のうちどれか。当てはまるものをすべて選びなさい。

テスト記事 中2 数学3 問題1

① AD//BC,AD=BC  ② AD//BC,AB=DC
③ ∠A=∠C,∠B=∠D  ④ ∠A=∠D,∠B=∠C
⑤ AB=DC,AD=BC  ⑥ AB=AD,BC=CD
⑦ OB=OC,OD=OA  ⑧ OA=OC,OB=OD

問題の見方

四角形が平行四辺形であるための条件を振り返りましょう。

ココが大事!

平行四辺形であるための条件

テスト記事 中2 数学3 平行四辺形の条件

この5つの条件のどれかを満たせば,平行四辺形であると言えます。

解答

テスト記事 中2 数学3 問題1

① AD//BC,AD=BC  ② AD//BC,AB=DC
③ ∠A=∠C,∠B=∠D  ④ ∠A=∠D,∠B=∠C
⑤ AB=DC,AD=BC  ⑥ AB=AD,BC=CD
⑦ OB=OC,OD=OA  ⑧ OA=OC,OB=OD

$$\underline{①,③,⑤,⑧}……(答え)$$

①は「1組の対辺が等しく,かつ平行」
③は「2組の対角がそれぞれ等しい」
⑤は「2組の対辺がそれぞれ等しい」
⑧は「対角線がそれぞれ中点で交わる」

映像授業による解説

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4. 平行四辺形であることを証明する問題

問題2

四角形ABCDの対角線の交点をOとする。このとき,AB//DC,BO=DOならば,四角形ABCDは平行四辺形となることを証明しなさい。

テスト記事 中2 数学3 問題2

問題の見方

四角形ABCDについて,次の平行四辺形であるための条件①~⑤のどれに当てはまるかを考えましょう。

ココが大事!

平行四辺形であるための条件

テスト記事 中2 数学3 平行四辺形の条件

問題文には,AB//DCという条件があるので,①か⑤の条件が近そうですね。あとは,AD//BCかAB=DCが言えれば,平行四辺形であることが言えます。

テスト記事 中2 数学3 問題2

さらにBO=DOに着目しましょう。BOを含む△ABOと,DOを含む△CDOの合同が言えれば,AB=DCにまでつなげられます。

解答

テスト記事 中2 数学3 問題2

△AOBと△CODにおいて,
仮定から,
BO=DO ……①,AB//DC ……②
平行線の錯角は等しいから,
∠ABO=∠CDO ……③
対頂角は等しいから,
∠AOB=∠COD ……④
①,③,④より,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから,
△AOB≡△COD
対応する辺は等しいから,
AB=CD ……⑤
②,⑤より,1組の対辺が等しく,かつ平行であるから,
四角形ABCDは平行四辺形である。 (証明終わり)

映像授業による解説

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