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5分で解ける!気柱の固有振動数に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

波動13 練習 全部

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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ガラス管の中に水が入っています。水だめの水位を上げたり下げたりすることで、ガラス管内の水位を自由に変えることができます。 ガラス管の水面が閉端 になっていますね。

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また問題文より、 共鳴 が起きたということは、 おんさの振動数と気柱の固有振動数が一致 して、定常波ができたということですね。振動数f=500[Hz]が一定であり、音速V[m/s]も一定であるので、V=fλから当然波長λ[cm]も一定になります。 開口端補正も一定である と与えられています。

L=16.4[cm]のときの共鳴

波動13 練習 (1) 問題文 図

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気柱内を伝わる音速V[m/s]を求めましょう。問題文より、L=16.4[cm]とL=50.4[cm]で2回共鳴が起きていることがわかっているので、それぞれの共鳴の様子を図示してみます。

波動13 練習 (1)手書き図 左

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まず最初の共鳴(L=16.4[cm])ではもっとも単純な定常波ができます。つまりレモン半分の 基本振動 ですね。ただし、単純にL=λ/4と立式できないことに注意しましょう。 開口端補正ΔLを考慮 して、
16.4+ΔL=λ/4
となります。

L=50.4[cm]のときの共鳴

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次に、L=50.4[cm]のときの共鳴を図示しましょう。

波動13 練習 (1)手書き図 右

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基本振動の次にくる振動なので 3倍振動 となりますね。基本振動のときと同様に 開口端補正ΔLを考慮 して、
50.4+ΔL=(λ/4)×3
となります。

単位に注意して、V=fλから求める

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ここで、基本振動と3倍振動の図を見比べてみましょう。

波動13 練習 (1)手書き図 左と右

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3倍振動の波(λ/4)×3から、基本振動の波λ/4を引いた部分の長さは、レモン1個分のλ/2です。図から、λ/2の部分は50.4cmと16.4cmの差であることが分かるので、
50.4-16.4=λ/2
⇔λ=68.0
となります。ここでλの単位は[cm]であることに注意してください。 V=fλ に代入して音速を求めるときは、λ=68.0[cm]=0.680[m]に変換します。

(1)の答え
波動13 練習 (1)図の下側1−2行目、図の右側をつなげる

「16.4+ΔL=λ/4」に(1)の結果を代入

波動13 練習 (2)問題文

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開口端補正ΔLを求める問題です。1回目の共鳴のときの図に注目しましょう。

波動13 練習 (1)左の図

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レモン半分1/4λの中には開口端補正ΔLが含まれていますね。
16.4+ΔL=λ/4
より、(1)で求めたλ=68.0[cm]を代入すれば開口端補正を求めることができます。

(2)の答え
波動13 練習 (2)解答すべて
気柱の固有振動数
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          気柱の振動

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