非保存力がはたらく場合の力学的エネルギー の第2回目の授業です。前回の授業では、 物体にはたらく非保存力が仕事をしない とき、物体の持つ 力学的エネルギーには影響を与えない ことを学びました。

では、 非保存力が仕事をした場合、力学的エネルギーにはどのような影響を与えるのか を今回は考えてみましょう。

下の図のように、手でボールを持ったまま、点Aから点Bまで移動させる例で考えましょう。

点Aの高さはh[m]でボールの速さはv[m/s]、点Bの高さはH[m]でボールの速さはV[m/s]とします。 物体の運動エネルギーの変化 は、 (1/2)mV² −(1/2)mv² と表すことができますね。

このとき、物体にした仕事をWとすると、仕事と運動エネルギーの関係から、
W=(1/2)mV² −(1/2)mv²
が成り立ちます。さらに、物体にした仕事Wは、重力が物体にした仕事W_gと手が物体にした仕事W_Fとの和であるので、
W_g + W_F = (1/2)mV² − (1/2)mv² ……①
となります。

①の式で、非重力である手がした仕事W_Fに注目して解いていきましょう。重力のした仕事W_gは、力の大きさに移動距離を掛ければ良いので
W_g = mg(h − H)
となります。これを①に代入すると、
W_g + W_F = (1/2)mV² − (1/2)mv²
mg(h − H) + W_F = (1/2)mV² − (1/2)mv²
W_F = {(1/2)mV² + mgH } − {(1/2)mv² + mgh }

(1/2)mV² + mgH は運動後の力学的エネルギー で、 (1/2)mv² + mgh は運動前の力学的エネルギー となっていますね。この式から 手のした仕事は、後の力学的エネルギーから前の力学的エネルギーを引いた差になる ことがわかりますね。

手のした仕事についての式をもう一度確認しましょう。
W_F = {(1/2)mV² + mgH } − {(1/2)mv² + mgh }
ここで左辺の手のした仕事W^Fは 非保存力 です。また右辺は 力学的エネルギーの変化量 、あるいは 増加量 を示しています。増加や変化を表す記号としてΔ(デルタ)がありましたね。右辺はこの記号Δ、また運動エネルギーを表す記号K、位置エネルギーを表す記号Uを使うことで下のようにシンプルにまとめることができます。

非保存力のした仕事は、力学的エネルギーの変化量に相当する ということをしっかりと覚えてください。