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二等辺三角形の3大重要ポイント
1.二等辺三角形とは？
二等辺三角形は、2辺の長さが等しい三角形と定義されます。
等しい長さの2辺にはさまれた角のことを頂角と呼び，それ以外の2つの角を底角と呼びます。
2.ポイント
ただし，「二等辺三角形＝2辺が等しい」と覚えるだけでは，中学数学の問題は解けません。二等辺三角形については，他に3つの重要ポイントがあります。3つのポイントを順番に紹介していきましょう。
二等辺三角形の性質1
2つの底角が等しい
1つ目のポイントは，二等辺三角形は2つの底角が等しいという性質です。この性質を利用することで，二等辺三角形における内角の角度を求めることができるようになります。
二等辺三角形の性質2
頂角の二等分線は，底辺を垂直に二等分する
2つ目のポイントは，二等辺三角形は頂角の二等分線は，底辺を垂直に二等分するという性質です。この性質は，特に高校入試の問題で頻出の知識になります。見落としがちになる性質なので，しっかりおさえましょう。
二等辺三角形になるための条件
①「2つの辺が等しい」
②「2つの角が等しい」
③「頂角の二等分線が，底辺の垂直二等分線と一致する」
3つ目のポイントは，二等辺三角形になるための条件です。ある三角形が二等辺三角形であることを示すには，3つのルートがあります。①「2つの辺が等しい」ことを示す，②「2つの角が等しい」ことを示す，③「頂角の二等分線が，底辺の垂直二等分線と一致する」ことを示す，です。特に，②を利用することが多いので覚えておきましょう。
3. 二等辺三角形の性質を利用する問題①
問題1
図でAB=ACのとき，∠xの大きさをそれぞれ求めなさい。
問題の見方
問題文の「AB=AC」という条件にピンと来てください。(1)~(4)の三角形はすべて二等辺三角形です。二等辺三角形の底角は等しいという性質に加え， 三角形の内角・外角の性質(「三角形の内角の和は180°になる」「三角形の外角は，隣り合わない2つの内角の和に等しい」)を利用すると，∠xの大きさがわかります。
解答
(1)
$$∠x=180^\circ-70^\circ×2=\underline{40^\circ}……(答え)$$
(2)
$$∠x=(180^\circ-84^\circ)÷2=\underline{48^\circ}……(答え)$$
(3)
$$∠x=100^\circ÷2=\underline{50^\circ}……(答え)$$
(4)
$$∠x=(180^\circ-36^\circ)÷2=\underline{72^\circ}……(答え)$$
映像授業による解説
4. 二等辺三角形の性質を利用する問題②
問題2
AB=AC である二等辺三角形ABCがある。∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき，BD=3(cm)であった。CDの長さと∠ADBの大きさを求めなさい。
問題の見方
問題文の「∠Aの二等分線」という条件にピンと来てください。∠Aは二等辺三角形の頂角ですね。二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に二等分するという性質を活用しましょう。
二等辺三角形の性質2
頂角の二等分線は，底辺を垂直に二等分する
解答
二等辺三角形の性質より，AD⊥BC，BD=CDとなるから，
$$CD=BD=\underline{3(cm)}……(答え)$$
$$∠ADB=\underline{90^\circ}……(答え)$$
映像授業による解説
5. 二等辺三角形を証明する問題
問題3
AB=ACの二等辺三角形ABCで，底角∠B，∠Cの二等分線を引く。2つの二等分線の交点をPとするとき，△PBCが二等辺三角形になることを証明しなさい。
問題の見方
「二等辺三角形の証明」には，3つの方法がありました。
①「2つの辺が等しい」ことを示す
②「2つの角が等しい」ことを示す
③「頂角の二等分線が，底辺の垂直二等分線と一致する」ことを示す
今回は，底角∠B，∠Cの二等分線が登場することから，②「2つの角が等しい」ことを示すに注目します。
図のように，∠PBCと∠PCBは，それぞれ∠B，∠Cの半分の大きさなので，∠PBC=∠PCBが成り立ちますね。証明の解答を書くときには，問題文で与えられた条件をスタート地点に，「△ABCが二等辺三角形→∠B=∠C→角の二等分線だから∠PBC=∠PCB→△PBCが二等辺三角形」と筋道を立てて記述していきます。
解答
△ABCにおいて，
仮定から，
∠B=∠C ……①，∠ABP=∠CBP ……②，∠ACP=∠BCP ……③
①，②，③より，
∠PBC=∠PCB=$$\frac{1}{2}$$∠B
△PBCにおいて，2つの角が等しいから，
△PBCは二等辺三角形である。 (証明終わり)
映像授業による解説
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「二等辺三角形の性質①」について詳しく知りたい方はこちら
「二等辺三角形の性質②」について詳しく知りたい方はこちら
「二等辺三角形であるための条件」について詳しく知りたい方はこちら
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この記事は、 「二等辺三角形の問題がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、簡単に二等辺三角形に関する問題がサクッと解ける ようになります。