円と直線の共有点の個数を求める問題です。
今回の問題は、円の中心がわかりやすい式になっていますね。
判別式を利用することもできますが、以下のポイントを使ってみましょう。

円：x²+y²=4より、
中心(0,0)、半径r=2ですね。

円と直線：3x-y-10=0との共有点の個数は、 中心と直線との距離dと半径2 を比べればよいですね。

(x-1)²+y²=5より、
中心(1,0)、半径r=√5ですね。

円と直線：x+y-3=0との共有点の個数は、 中心と直線との距離dと半径√5 を比べればよいですね。